Wahrscheinlichkeits-Rechner
Würfelverteilungen und Binomialverteilung berechnen – mit Monte-Carlo-Simulation und Live-Histogramm.
Minimum
2
Maximum
12
Erwartungswert
7
Kombinationen
36
📊 Wichtige Formeln
Grundlagen der Stochastik auf einen Blick
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Günstige Ergebnisse geteilt durch alle gleichwahrscheinlichen Ergebnisse. Gilt nur bei Laplace-Experimenten.
P(A) = |A| / |Ω|P(6 mit W6) = 1/6 ≈ 16,67 %Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern bei n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏP(3 Köpfe bei 5 Würfen) = C(5,3)·0,5³·0,5² = 31,25 %Erwartungswert
Der Durchschnittswert, den man bei unendlich vielen Wiederholungen erwarten würde.
E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ)E[W6] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5Additionssatz
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A oder B eintritt. Bei disjunkten Ereignissen entfällt der Schnittterm.
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)P(Gerade ∪ >4) bei W6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6🎲 Klassische Würfel-Aufgaben
Wie wahrscheinlich ist eine Augensumme von 7 bei 2×W6?
6/36 ≈ 16,67 %
6 günstige Paare: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Wie wahrscheinlich ist mindestens eine 6 bei 2×W6?
11/36 ≈ 30,56 %
1 − P(keine 6) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36
Wie wahrscheinlich ist eine Zahl > 4 bei W6?
2/6 = 33,33 %
Günstige Ergebnisse: {5, 6} → P = 2/6
📐 Binomialkoeffizient C(n,k)
Formel
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)Gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n auszuwählen – unabhängig von der Reihenfolge.
C(5,0)13.1 %C(5,1)515.6 %C(5,2)1031.3 %C(5,3)1031.3 %C(5,4)515.6 %C(5,5)13.1 %❓ Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen theoretischer und empirischer Wahrscheinlichkeit?
Die theoretische Wahrscheinlichkeit (z. B. 1/6 bei einem fairen Würfel) wird berechnet. Die empirische entsteht durch echte Versuche – die relative Häufigkeit nähert sich bei vielen Wiederholungen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an (Gesetz der großen Zahlen).
Was zeigt der Simulator?
Der Simulator führt viele Zufallsexperimente (100–100.000) durch und zeigt, wie gut die empirischen Häufigkeiten (graue Balken) mit der theoretischen Verteilung (farbige Balken) übereinstimmen. Je mehr Versuche, desto besser die Übereinstimmung.
Was ist die Binomialverteilung?
Sie beschreibt ein Experiment mit genau zwei Ausgängen ('Treffer'/'Kein Treffer'), das n-mal wiederholt wird. Münzwürfe sind ein klassisches Beispiel: P(X=k) = C(n,k) · (0,5)ⁿ.
Was bedeutet Erwartungswert?
Der Erwartungswert E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ) ist der langfristige Mittelwert. Bei einem fairen W6 ist E[X] = 3,5 – kein mögliches Ergebnis, aber der Durchschnitt bei vielen Würfen.