Matrizen-Rechner
Addition, Multiplikation, Determinante und Inverse von 2×2- und 3×3-Matrizen – mit Schritt-für-Schritt-Erklärung.
Matrizen-Rechner
Kostenloser Online-Matrizen-Rechner: Addition, Multiplikation, Determinante und Inverse von 2×2- und 3×3-Matrizen berechnen – mit Schritt-für-Schritt-Erklärung
Hinweis: Die Berechnungen erfolgen nach bestem Wissen, eine Gewähr für Richtigkeit kann jedoch nicht übernommen werden.
Matrix A
Matrix B
Ergebnis
⊞ Matrizenoperationen erklärt
Addition (A + B)
Zwei Matrizen gleicher Größe werden elementweise addiert. Jedes Element c_ij = a_ij + b_ij.
C = A + B[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]]Multiplikation (A × B)
Das Skalarprodukt von Zeilen und Spalten. Anzahl der Spalten von A muss gleich Anzahl der Zeilen von B sein.
c_ij = Σ a_ik · b_kj[[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] = [[19,22],[43,50]]Determinante det(A)
Ein Skalar, der charakteristische Eigenschaften der Matrix beschreibt. Ist det(A) = 0, ist die Matrix singulär.
2×2: det = ad − bcdet([[1,2],[3,4]]) = 1·4 − 2·3 = −2Inverse A⁻¹
Existiert nur wenn det(A) ≠ 0. Es gilt A · A⁻¹ = I (Einheitsmatrix).
A⁻¹ = (1/det) · adj(A)[[1,2],[3,4]]⁻¹ = [[-2,1],[1.5,−0.5]]📋 Wichtige Eigenschaften
A + B = B + A (gilt nur für Addition)A × B ≠ B × A (gilt im Allgemeinen NICHT)(A + B) + C = A + (B + C)A × (B + C) = A×B + A×CA × A⁻¹ = I (nur wenn det(A) ≠ 0)det(A × B) = det(A) · det(B)📐 Inverse einer 2×2-Matrix – Formel
Ausgangsmatrix A
det(A) = a·d − b·cA⁻¹ = (1/det) · [[d, −b], [−c, a]]Die Hauptdiagonale wird getauscht, die Nebendiagonale wird negiert, dann durch die Determinante dividiert.
❓ Häufige Fragen
Wann ist eine Matrix singulär?
Eine quadratische Matrix ist singulär (nicht invertierbar), wenn ihre Determinante gleich 0 ist. Das bedeutet, die Zeilen/Spalten sind linear abhängig.
Was ist die Einheitsmatrix?
Die Einheitsmatrix I hat auf der Hauptdiagonale Einsen und überall sonst Nullen. Sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation: A × I = I × A = A.
Wozu braucht man Matrizen in der Praxis?
Matrizen werden überall eingesetzt: Computer-Grafik (Transformationen), Machine Learning (Gewichtsmatrizen), Physik (Trägheitstensoren), Wirtschaft (Input-Output-Analyse) und Lösung linearer Gleichungssysteme.
Wie berechnet man die Determinante einer 3×3-Matrix?
Mit der Sarrus-Regel oder Entwicklung nach einer Zeile/Spalte (Laplace-Entwicklung): det(A) = a₁₁·(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) − a₁₂·(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁) + a₁₃·(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁).